Prefacio
Estas notas constituyen el material de apoyo para un Taller de vein-
te horas de duracion sobre Algebra y Combinatoria, dirigido a estudiantes
de Licenciatura en Matematicas. El unico prerrequisito necesario es estar
familiarizado con los rudimentos de la Teoria de Grupos.
El material esta organizado en tres captulos. El primero es esencialmen-
te el texto de un notebook de Mathematica, y esta dirigido a mostrar como
las herramientas computacionales simbolico-gracas pueden ser usadas en la
ense~nanza y aprendizaje del Algebra, en particular de la Teor³a de Grupos.
En el segundo cap³tulo se estudia el concepto de accion de un grupo sobre
un conjunto, el cual juega un rol central en muchas ramas de la matematica
y sus aplicaciones. El tercer capitulo se ocupa de la Teoria de Polya, que
trata de la enumeracion de configuraciones bajo la accion de grupos.
A lo largo del texto hay numerosos Ejercicios, destinados a poner a prue-
ba la comprension del material tratado y a suministrar ejemplos. Es abso-
lutamente imprescindible resolver estos ejercicios antes de continuar avan-
zando en el texto.
Al final de los capitulos 2 y 3 hay tambien una lista de Problemas, natu-
ralmente de mayor dificultad que los ejercicios. En un Apendice se incluyen
las soluciones.
spanish
1 Teoria de Grupos y Mathematica 1
1.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Ejemplos de grupos usando Mathematica . . . . . . . . . . . 7
1.3 Producto de grupos, grupo cociente y
homomorfismo de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Principales comandos de Mathematica
empleados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Accion de un grupo sobre un conjunto 17
2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Accion de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Algunas aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1 Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2 Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Enumeracion bajo accion de grupos 27
3.1 El Lema de Cauchy-Frobenius-Burnside . . . . . . . . . . . . 28
3.2 La Accion de Polya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.1 Ejemplo: coloracion del cubo con r colores . . . . . . 30
3.2.2 Aplicacion: identidades con numeros de Stirling . . . . 31
3.3 El Teorema de Polya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Enumeracion de grafos no isomorfos . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
A Soluciones a los Problemas 39
Bibliografia 43
Indice de Materias 45
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